【壓縮機網】一、序言

　　W型壓縮機在工業應用上非常常見，然而它內部的結構絕大多數都是單曲拐結構。能不能將曲軸設計成三曲拐的結構？

　　記得十多年前在新聞聯播中看過沈鼓、陜鼓一些大型壓縮機三曲拐曲軸加工的畫面，當時就想過小型W型無油機能否也采用這種三曲拐的結構？現在的一些壓縮機教材里沒有提及角度式三曲拐W型壓縮機，僅是詳細分析介紹了角度式單曲拐W型60°壓縮機一些理論。三曲拐的曲軸在一些大型的臥式機器中有應用，課本中對這種結構的機器進行了慣性力的分析。雖然目前教材上沒有提及該種結構，但不代表這種結構不能合法存在。只是這種結構在一階慣性力平衡方面有它的弊端，然而在其它方面也有它的優點。因前期對單曲拐W型各種角度的壓縮機一、二階往復慣性力進行了詳細分析計算，因而信手拈來將三曲拐的結構也進行詳細分析，期望從理論上揭示該種結構的特點，以期擴展壓縮機的結構，推動國內壓縮機技術的發展。

　　本文以關于中心點對稱的三曲拐、W型各種角度式壓縮機為例，考慮到往復質量的差異，從理論上分析推導出機器的一、二階往復慣性力的公式，分析各種因素對機器的影響，從而遴選出性價比高的結構，可以嘗試作為未來的工業應用。該慣性力作用點為曲軸箱體中心點，其大小和變化形成了慣性力的矢端軌跡力圖。根據該公式，提出合適的平衡一、二階往復慣性力的措施。創新拓展壓縮機理論和結構型式，推動全球范圍內W型壓縮機的升級換代。

　　二、基礎理論

　　1.正方向的問題

　　三曲拐W型壓縮機是指曲軸有三個拐，拐拐之間互成120°且不在同一個運動平面，能夠獲得旋轉慣性力的自動平衡。三個拐所裝配的連桿中心距相等，如圖1所示。我們這里考慮兩級壓縮機，它有兩個一級一個二級，設一級的往復部件質量為m_s1，二級往復部件質量為m_s2，以圖1中間的一列m_s2為基準建立直角坐標系xoy，圖2與圖3中都是以m_s2列為基準建立坐標系，這是考慮到有兩種質量參與計算的方便。然而對于m_s2列偏置分布建立的坐標系不是系統結構的主方向，不容易看出一、二階慣性力的特征，需要運用到坐標矩陣變換關系式。規定投影到曲柄方向為x軸，與曲柄垂直的方向為y軸。這里規定x軸正方向是由機器中心向外指，這與壓縮機中將連桿受拉伸規定為正值相吻合，壓縮機動力計算時也將曲柄在上死點位置時運動部件受到的往復慣性力為正的最大值。y軸的正方向規定為將x軸順旋轉方向轉一直角方向為其正方向。這樣的規定都是為了方便計算，為后面的各種計算打下基礎，也更容易發現規律。

　　2.研究手段問題

　　本文采用歐拉公式研究三列慣性力矢量的合力問題，將教科書上推導過程中采用垂直和水平方向兩個式子合并成一個式子，這里規定x軸代表向量的實部，y軸代表向量的虛部，二者連接采用虛數單位i來連接。運用到的相關公式如下：

　　e為工程指數，i為虛數單位，θ為曲柄轉角，單位為弧度，規定順時針旋轉方向為正值，θ為變量函數。該式子描述的也就是單位圓。

　　該式子也是上復數的共軛復數。

　　一階慣性力是余弦函數，本文將一對互為共軛的復數的平均值來研究一、二階慣性力。

　　它巧妙地運用到兩個不同相位的歐拉函數的代數和來研究慣性力的投影問題。式子的右邊正好是圖1中右邊列一階慣性力投影到xoy坐標系上兩個方向上兩個力的大小。圖1中氣缸間夾角γ為60°，由于曲拐間的夾角都是120°，所以右邊的活塞工作相位值為，根據前面規定了x、y軸的正方向，注意到上式的虛部應為正值。上式子描述的力是相對于中間為基準超前的列的一階慣性力。大家發現，該式子就是將單曲拐落后的列的力的代數式取其共軛復數來計算。

　　將該式的“γ”用“-γ”代替后形成新的公式就是圖1中左邊列的一階慣性力。

　　該式子是圖1中左邊列二階慣性力投影到xoy坐標系上兩個方向上兩個力的大小。可以驗算當θ為0時，該列的相位角為－60°，所以其二階慣性力為上式。同樣的，將該式的“γ”用“-γ”代替后形成新的公式就是圖1中右邊列的二階慣性力的計算公式。

　　上面兩個公式僅對夾角為60°的適用，對其它角度例如45°的要給予修正。

　　3.研究切入點問題

　　本文研究慣性力的計算公式及其圖像，顧及三列不同的往復質量對計算公式的影響，所以研究的起始點非常重要。文章分析了兩種往復質量的計算公式，為計算方便，通常θ角的計入零點規定為ms2列活塞處于上死點的位置。文中得到的計算公式與選擇上面的計入零點無關，也就是說，當將自變量θ轉換成主方向位置時，只需要將所有公式里作相應的帶入變換。

　　三、計算過程

　　文中分析了ms2列活塞居中布置和偏置一邊時順時針及反時針旋轉時一、二階往復慣性力的計算公式。考慮到二級壓縮機有兩種往復質量，居中布置與偏置布置結構上有所不同，需要針對各自的型式進行單獨研究，得到的慣性力公式形式迥異，所進行的坐標系矩陣變換工作量也不相同，偏置布置需要進行大量的矩陣變換而居中布置無需進行；偏置布置時順、反時針旋轉這兩種情況比較起來，得到的慣性力公式基本相同，僅相差幾個正負號而已。

　　三列活塞套入三個曲柄銷的先后順序形成的慣性力矩也各不相同，雖然微小，本文不作研究。文中假設三列都在同一個往復運動平面上往復慣性力合成后的矢端軌跡圖像。

　　1.用基礎理論分析圖1形式三曲拐順時針轉動時慣性力

　　r為曲柄半徑。ω為旋轉角速度，以弧度計入計算。C為后文列出的公式書寫方便引入的記號。

　　1.1一階慣性力的計算

　　上式若采用三角函數來運算，則就是下面的兩個式子

　　對（7）式再進行運算化簡

　　這是居中布置時三曲拐W型夾角60°一階往復慣性力復數表達式。

　　當兩個質量相等時，即是

　　一階力矢在m_s2＝m_s1時成圓的變化，其方向與曲柄轉動的方向正好相反，大小與單曲拐的該種型式相同。不能采用在曲柄的反方向加一合適的平衡重來完全平衡掉一階往復慣性力，需要采用其它合適的機構來平衡一階慣性力。

　　若m_s2＞m_s1，則此時的一階慣性力圖是橢圓。由于m_s2居中分布時所建立的坐標系屬于主方向的位置，其一階慣性力運動形式與單曲拐的該種結構比較起來，慣性力圖形狀相同僅轉動方向不同，所以它們的長軸都在x軸上，也就是圖示中的豎直方向，短軸在水平方向。這種情形不同于偏置分布時的狀況。

　　1.2二階慣性力的計算

　　式中λ為曲柄半徑連桿比。

　　這是居中布置時三曲拐W型夾角60°二階往復慣性力復數表達式。

　　同樣的，若采用三角函數來運算，則是下面的兩個式子

　　二階力矢在m_s2＝m_s1時成短長軸比為1:3的橢圓變化。這種布置時θ為0°時，力矢到達該橢圓的短半軸位置，曲柄方向矢與二階力矢在同一方向，但在該瞬時曲柄轉向與二階慣性力變化方向互為反方向。二階慣性力旋轉方向與單曲拐的該種型式不同。

　　若m_s2＞m_s1，同樣的，由于m_s2居中分布時所建立的坐標系屬于主方向的位置，其二階慣性力運動形式與單曲拐的該種結構比較起來，慣性力圖形狀相同僅轉動方向不同，所以這種情形時會使原短長軸比為1:3的橢圓有所微量變化。但不會引起橢圓偏轉，這與偏置分布時的不同。一、二階慣性力圖因往復質量的不同都不會引起橢圓偏轉可以理解為，左右兩個m_s1共同作用所引起的慣性力的合力導致的。

　　2.用基礎理論分析圖2形式三曲拐順時針轉動時慣性力

　　2.1一階慣性力的計算

　　該式用到了三角函數的和差化積公式。

　　上式表明，一階慣性力矢端軌跡是一橢圓，變化的周期和曲軸旋轉的周期相同。在建立的xoy直角坐標系中，該橢圓的圖像是標準的橢圓圖像。如果從主方向即x'oy'直角坐標系來看，它不是標準橢圓，相當于將該主方向上的標準橢圓反時針旋轉了30°。

　　若ms2＞ms1，長半軸為，長軸在m_s2列氣缸軸線上；短半軸為，短軸在m_s1列氣缸軸線上。由于m_s2偏置分布時所建立的坐標系不屬于主方向的位置，其一階慣性力運動形式與單曲拐的該種結構比較起來，慣性力圖形狀相同僅轉動方向不同。若m_s2＝m_s1，橢圓退化成圓，半徑為。

　　2.2二階慣性力的計算

　　這是該種偏置布置不向自身旋轉時三曲拐W型夾角60°二階往復慣性力復數表達式。

　　這是其二階慣性力參數方程的表達式。

　　為尋找上方程所描述的圖像，先假定兩個往復質量相等，利用尋找兩個變量的二次多項式方程方法和矩陣轉換法來進行。下面仿上面的假設，推導出它是一橢圓的依據。

　　根據線性代數中二次多項式的判別式定理，滿足上兩個條件，所以二階慣性力也是一個橢圓。

　　由圖1可以看出，原坐標系作正值旋轉30°后到x'oy'坐標系，也就是將坐標系作逆時針旋轉30°，作坐標系的矩陣變換的因子為

　　上式清晰地表明二階慣性力的軌跡是橢圓，變化的周期是曲軸旋轉周期的一半。經坐標系的旋轉變換后的參數方程表明：該橢圓的長半軸是短半軸的3倍，二階慣性力旋轉方向與單曲柺的該種型式不同，曲柄轉向與二階慣性力變化方向互為反方向。不論是在xoy坐標系還是在x'oy'坐標系中，其橢圓的長半軸始終在水平方向，這與三列活塞在旋轉平面的分布緊密聯系。后文還分析表明，不論ms2處于偏置還是中間位置，不論旋轉方向，二階慣性力矢端力圖始終是橢圓，該橢圓的長軸始終處于水平方向，不過其相位變化比較復雜。式（27）可以看出θ為15°時，力矢到達該橢圓的長半軸正的位置，這兩個矢量不在同一方向成15°；θ為60°時，力矢到達該橢圓的短半軸負的位置，這兩個矢量不在同一方向成120°。二階慣性力的變化比曲軸自身旋轉變化快一倍。

　　結合圖2可得，形如式（25）、（26）參數方程，其圖像是將標準直角坐標系中短長軸之比為1：3的橢圓反針旋轉30°所得到的圖象。

　　若m_s2＞m_s1，同樣的，由于m_s2偏置分布時所建立的坐標系不屬于主方向的位置，其二階慣性力運動形式與單曲拐的該種結構比較起來，慣性力圖形狀相同僅轉動方向不同，所以這種情形時會使原短長軸比為1:3的橢圓有所微量變化，并且會引起橢圓偏轉。這是由于同一側兩個m_s1共同作用所引起的慣性力的合力導致的。m_s2列質量越大，原1:3的橢圓長軸越靠近m_s2列，亦即長軸向m_s2列旋轉，這與單曲拐的一樣僅二階慣性力的旋轉方向不同。

　　3.用基礎理論分析圖3形式三曲拐反時針轉動時慣性力

　　3.1一階慣性力的計算

　　該式表明反時針旋轉時，一階慣性力復數方程和直角坐標方程形式上與順時針旋轉時完全相同，說明同是三曲拐W型60°布置時，軌跡力圖與轉向無關，上述這種布置曲柄矢和一階慣性力旋轉矢也是互為反方向。當二者質量相等時，就成圓的變化，但不能在曲柄的反方向加一合適的平衡重來平衡一階往復慣性力，需要設計其它的機構來平衡一階慣性力。

　　在建立的xoy直角坐標系中，該橢圓的圖像是標準的橢圓圖像。如果從主方向即x'oy'直角坐標系來看，它不是標準橢圓，相當于將該主方向上的標準橢圓反時針旋轉了30°。

　　3.2二階慣性力的計算

　　上式表明反時針旋轉時，二階慣性力直角坐標方程形式上與順時針旋轉時不同。說明換一個方向旋轉時，需要另一種方程描述二階慣性力的表現形式，后文的計算表明，它們的軌跡力圖是相同的。文章從理論提供了這些狀況時力矢的數學表達式，理論上也能夠找到一種合適的機構加裝上來平衡二階往復慣性力。

　　坐標系作負值30°旋轉變換到x'oy'坐標系中

　　結合圖3可得，形如式（30）、（31）參數方程，其圖像是將標準直角坐標系中短長軸之比為1：3的橢圓順針旋轉30°所得到的圖象。

　　4.一致性驗算

　　由圖1、圖2、圖3，利用坐標系的旋轉變換得出其公式的一致性。

　　也可以由向自身旋轉時的代數方程推導出不向自身旋轉時的代數方程，而不經過中間列來過渡，即由圖3與圖2之間的關系，將圖3的狀況依圖示旋轉120°后就是圖2的狀況。其矩陣方程如下

　　上式二階方程驗算過程的成立是通過下面的矩陣乘法運算得到的：

　　5.總結

　　從上面的三種情況分析和計算，可以得出三曲拐W型60°布置有兩個ms1，一個ms2往復質量時有以下結論：

　　5.1一階慣性力是一橢圓，m_s2列中心線是該橢圓的一個對稱軸方向，不論m_s1、m_s1、m_s2在運動平面上如何分布，若m_s2＞m_s1，則長軸在m_s2列方向，反之則短軸在m_s2列方向。

　　5.2二階慣性力也是一橢圓，若m_s1＝m_s2，不論采用上面三種情況的特殊情形來計算，該橢圓的長軸始終在水平方向，短軸在豎直方向，并且長半軸是短半軸的3倍。

　　5.3曲柄矢和一階、二階慣性力旋轉矢都是互為反方向，這與單曲拐的完全不同而數值相同。

　　5.4以上討論的都是關于慣性力對于往復質量ms以及夾角γ對其圖像的影響，也講到了實時的相位對應實時的圖像。如果我們從慣性力圖像變化率角度來刻畫這一理論，就需要用到開普勒定律，這在論文總結中詳細論述。

　　四.舉例分析

　　本文以安徽華晶機械有限公司生產的WW-0.9/10B-Q型單曲拐全無油空壓機為例分析該二級壓縮機的一、二階往復慣性力，這里假定曲軸為三曲拐。其中一級往復質量m_s1為1.8kg，二級往復質量m_s2也為1.8kg，曲柄半徑為0.0375m，曲柄半徑連桿比λ為37.5/195，角速度ω為2π×(800/60)rad/s，現將上述結構參數分別代入上文中所列的相關公式中，運用計算機內EXCEL程序列表、繪圖計算分析，其結果如下：

　　1）按圖1形式作順時針轉動，其一、二階慣性力矢端力圖如圖1所示。

　　計算結果表明：當按照圖1所示建立的直角坐標系xoy后，按照順時針轉θ角后，一階往復慣性力如IⅠ(θ)所示，它是一個圓；二階往復慣性力如IⅡ(θ)所示，它是一個很明顯的橢圓。一階慣性力的半徑長為711N，圖中顯示了當θ＝0°，一階慣性力的向量是IⅠ(0)，在這個位置曲柄矢與一階慣性力矢瞬時重合，隨后二者的方向矢量始終是關于豎直軸對稱。二階慣性力圖是一個標準的橢圓，二階慣性力的長半軸、短半軸為136.7N、45.6N，長軸始終在水平方向，長短軸之比為3：1。圖中還顯示了當θ＝0°，二階慣性力的向量是IⅡ(0)。由于這種對稱布置，初始的二階慣性力向量與曲柄矢重合，當曲軸旋轉一周時，二階慣性力是從IⅡ(0)位置開始沿著其二階力橢圓形式反時針轉動了2周，而一階力則沿著外面的橢圓反時針轉動了1周。

　　2）按圖2形式作反時針轉動，其一、二階慣性力矢端力圖如圖2所示。

　　這里需說明的是，一階慣性力圖還是圖1中的那個大橢圓，方向矢則逆著曲柄矢沿軌跡圖順時針變化。兩矢量是關于豎直軸鏡像對稱。二階慣性力圖也類似這樣，并且圖2與圖3起始的二階慣性力矢量IⅡ(0)不變。

　　3）按圖3形式作順時針轉動，其一、二階慣性力矢端力圖如圖3所示。

　　應注意到對于往復質量固定的這些分布的型式，一、二階慣性力矢圖非常相似。也就是說，結構決定了力矢圖。文末再提及一下二階慣性力的橢圓應設法平衡，特別是在機器往大的方向發展時，往復質量ms、C值都變大時尤為需要。

　　注：本文未完待續，更多精彩內容見下期！

　　參考文獻

　　(1)陸鵬程，復數法分析研究W型壓縮機往復慣性力(一～四)[J]，壓縮機，2024.8～11期

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　　(3)李松虎，3W型活塞壓縮機往復慣性力的分析，[J]，壓縮機技術，1987.3

　　(4)陸鵬程，張光勝，三星型壓縮機振動問題研究，[J]，安徽工程科技學院學報，2009.1

　　(5)王再順，夾角為90°的V型壓縮機往復慣性力平衡的探討，[J]，壓縮機技術，1986.2

　　作者簡介

　　陸鵬程，男，安徽桐城人，海軍工程大學在職碩士畢業。現在中國人民解放軍第四八一二工廠，安徽華晶機械有限公司工作，高級工程師。研究方向：壓縮機研究與強度設計。